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今天讲一下如何理解和记忆排列组合的基本计算公式，然后再解释一下为什么推荐用排列组合。
排列的定义：从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列，所有排列的个数记作：A(n,m)
组合的定义：从n个不同元素中任取m个的组合数（顺序无关）记作：C(n,m)
A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
C(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)÷(m!)=A(n,m)÷A(m,m)
首先讲一下如何理解记忆这两个计算公式，如果学过定义新运算，应该很容易理解。
排列：从n个不同元素中任取m个，按一定顺序排成一列
根据乘法原理，第一个位置有n种选法，第二个位置有n-1种选法，…，第m个位置有n-m+1种选法。
所以排列数A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
例题：利用数字1～9共可组成多少个无重复数字的三位数。
用排列来算就是A(9,3)=9×8×7=504
乘法原理：百位9种选法，十位8种选法，个位7种选法。所以9×8×7=504
组合：从n个不同元素中任取m个，组成一组(顺序无关)
根据排列或乘法原理，可知有顺序的有A(n,m)种。m个元素有A(m,m)种不同排法，算组合时这些只算一组。所以去掉重复
C(n,m)=A(n,m)÷A(m,m)
例题：10支队伍进行单循环比赛(每两队赛一场)，共进行多少场比赛如果考虑顺序，从10支队里选2支共有A(10,2)种方法，或乘法原理10×9。但是其中先选甲后选乙，与先选乙后选甲是同一场比赛，所以去掉重复(2支的排列数)。
C(10,2)=A(10,2)÷A(2,2)
虽然看起来用乘法原理也一样可以算出来，但是做一些比较复杂的题时就能看出排列组合的威力了。
例题：尚品中学的4名优秀学生全部保送到3校（育才，实验，二中），每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
利用排列组合，四名学生分成3组有C(4,2)种方法，三组学生分配三所学校有A(3,3)种方法，所以结果应该是C(4,2)×A(3,3)。接下来已经与题目无关，只是单纯的计算，和列方程一样。它有什么好处呢，如果说不会算三组学生分配三所学校，那么这道题我们就可以放弃了，而不必先花时间把四人分3组的数算出来。不仅是考试时节省时间，而且有助于从整体上看清解题步骤。 |
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发表于 2022-11-26 18:26:51