真寻同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的坚果袋，每种袋子中至少装一种坚果，至多装4种坚果。真寻同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每种坚果在袋子里出现的总次数均为偶数，那么不同的方法数为 种 这道题同学可以去讨论试试看，实在是暴殄天物
我们设每种坚果的状态向量为 e_i=(a,b,c,d) i=1,2,3,4 a,b,c,d\in\left\{ 0,1 \right\}
坚果四个参数分别对应四种袋子，1代表某袋子里有这种坚果，0代表某袋子里没有这种坚果
a,b,c,d分别是i号坚果在1,2,3,4号袋子里的状态参数（有或没有，即1或0）
我们定义状态参数相加时1+1=0,1+0=0+1=1,0+0=0
每种袋子中至少装一种坚果 \Leftrightarrow e_i≠(0,0,0,0) ①
五个袋子中所装坚果种类各不相同 \Leftrightarrow e_i+e_j≠(0,0,0,0) ②
每种坚果在袋子里出现的总次数均为偶数 \Leftrightarrow\sum_{i=1}^{5}{e_i}=(0,0,0,0) ③
(0,0,0,0) 只有和 (0,0,0,0) 相加才能得到 (0,0,0,0)
由②③可知 e_i+e_j+e_k≠(0,0,0,0) ④，由①③可知 e_i+e_j+e_k+e_m≠(0,0,0,0) ⑤
考虑 e_1 ，由①，16种情况中不能是 (0,0,0,0)
考虑 e_2 ，由①，②，16种情况中不能是 (0,0,0,0) 和e_1
考虑 e_3 ，由①，②，④,16种情况中不能是 (0,0,0,0) 或 e_1 或 e_2 或 e_1+e_2
考虑 e_4 ，由①，②，④，⑤，16种情况不能是(0,0,0,0) 或 e_1 或 e_2 或 e_3 或 e_1+e_2 或 e_2+e_3 或 e_1+e_3或 e_1+e_2+e_3
前四个确定了 e_5 已经确定好了，就1种情况
（其实就是子集数目，只是列举出来方便理解）
可知共有 (16-1)(16-2)(16-4)(16-8)=20160 种 |
发表于 2023-3-28 06:28:22