张量的指标与排列符号 【δ (Kronecker对称张量)， ϵ (Levi ...

禁我一言

前言：关于张量的指标运算（主要偏向于应用，以及对理论力学的数学铺垫，所以符号使未必严谨，见谅）
*约定：用作上标或下标的拉丁字母指标，都将取从1到N的值
1、Einstein求和约定：若一项中有一个指标重复，就意味着要对这个指标遍历范围1，2，…，N求和。

即： {\color{blue}{a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+…+a_{N}x^{N}=\sum_{i=1}^{N}{a_{i}x^{i}} =a_{i}x^{i}}}    (此时即对重复指标i作求和运算)
【注意：只有重复的指标求和才可略写，如 \sum_{i=1}^{3}{A_{i}B_{i}C_{j}}可写作A_{i}B_{i}C_{j},但\sum_{i=1}^{3}{A_{i}B_{j}C_{j}}不可略写】
对于求和的指标（如上式中的i），称之为哑指标。
一个哑指标可以用任何不引起歧义的指标替代，即 a_{i}x^{i}=a_{k}x^{k}
【为方便读者理解，此处用类比法解释：例如积分 \int_{a}^{b}f(x,y)dx=F(y) ,积分结果与x这个标识无关，即x可用其他字母替代而不影响结果。同理，对于求和的指标i不影响最终结果。】
自由标：与哑标相反，不求和的标叫自由标。自由标的符号不可改变。
例：两矩阵相乘AB=C，C的元素 c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^{n}{a_{ik}b_{kj}}=a_{ik}b_{kj}
2、Kronecker \delta 对称张量

定义： \delta^{i}_{j}={\left\{\begin{aligned}  1 ,i=j\\ 0,i\ne j   \end{aligned}  \right. }
【若不分上下标，Kronecker对称张量也可写作 \delta_{ij} 】
性质1： \delta_{ij}=\delta_{ji} 【由定义易得】
*性质2(指标缩并)*： \delta_{im}A_{m}=A_{i}, \delta^{k}_{j}A^{j}=A^{k}，\delta_{ij}A_{jk}=A_{ik},\delta_{ij}A_{kj}=A_{ki}
性质3：对于正交的单位矢量 e_{1},e_{2},e_{3} ，有 e_{i}\cdot e_{j}=\delta_{ij} .
3、Levi-Civita \epsilon 反对称张量  

定义： \epsilon_{ijk}={\left\{\begin{aligned}  1  \ \ \ i,j,k成偶排列\\  -1 \ \ i,j,k成奇排列 \\0\ \  \ \ \ \ \ \ \ \ \ 其他情况  \end{aligned}  \right. }
【偶排列：i，j，k按顺序排列，或者两两交换偶数次，如 \epsilon_{jki}
  奇排列：i，j，k两两交换奇数次，如 \epsilon_{jik}
  其他情况：出现指标重复，如 \epsilon_{iik} 】
性质1: \epsilon_{ijk}=\epsilon_{jki}=-\epsilon_{jik}
性质2: \epsilon_{iik}=0
*性质3*： \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}
【证明性质3：利用 \epsilon_{ijk}=(e_{i}\times e_{j})\cdot e_{k}  =\left |\begin{array}{cccc} e_{i_{1}} &e_{i_{2}}   &e_{i_{3}} \\ e_{j_{1}} &e_{j_{2}} &e_{j_{3}}  \\ e_{k_{1}} &e_{k_{2}} &e_{k_{3}} \\ \end{array}\right| .
\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm} =\left |\begin{array}{cccc} e_{i_{1}} &e_{i_{2}}   &e_{i_{3}} \\ e_{j_{1}} &e_{j_{2}} &e_{j_{3}}  \\ e_{k_{1}} &e_{k_{2}} &e_{k_{3}} \\ \end{array}\right|\left |\begin{array}{cccc} e_{i_{1}} &e_{i_{2}}  &e_{i_{3}} \\ e_{l_{1}} &e_{l_{2}} &e_{l_{3}}  \\ e_{m_{1}} &e_{m_{2}} &e_{m_{3}} \\ \end{array}\right|=\left |\begin{array}{cccc} e_{i_{1}} &e_{i_{2}}   &e_{i_{3}} \\ e_{j_{1}} &e_{j_{2}} &e_{j_{3}}  \\ e_{k_{1}} &e_{k_{2}} &e_{k_{3}} \\ \end{array}\right|\left |\begin{array}{cccc} e_{i_{1}} &e_{l_{1}}   &e_{m_{1}} \\ e_{i_{2}} &e_{l_{2}} &e_{m_{2}}  \\ e_{i_{3}} &e_{l_{3}} &e_{m_{3}} \\ \end{array}\right| \ \ =\left |\begin{array}{cccc} e_{i}\cdot e_{i} &e_{i} \cdot e_{l}  &e_{i} \cdot e_{m}\\ e_{j}\cdot e_{i} &e_{j} \cdot e_{l}  &e_{j} \cdot e_{m}  \\ e_{k}\cdot e_{i} &e_{k} \cdot e_{l}  &e_{k} \cdot e_{m}\\ \end{array}\right|=\left |\begin{array}{cccc} \delta_{ii} &\delta_{il}  &\delta_{im} \\ \delta_{ji} &\delta_{jl} &\delta_{jm}  \\ \delta_{ki}&\delta_{kl} &\delta_{km}\\ \end{array}\right|=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}
】
对于矢量点乘： {\color{blue}{ A\cdot B=\sum_{}^{}{A_{i}B_{i}}=A_{i}B_{i} }}
对于矢量叉乘： {\color{blue}{ A\times B=\left |\begin{array}{cccc} e_{i} &e_{j}   &e_{k} \\ A_{i} &A_{j} &A_{k}  \\ B_{i} &B_{j} &B_{k} \\ \end{array}\right| \\ =(A_{j}B_{k}-B_{j}A_{k})e_{i}+(B_{i}A_{k}-A_{i}B_{k} )e_{j}+(A_{i}B_{j}- B_{i}A_{j})e_{k}\\=\epsilon_{ijk}A_{j}B_{k} }}
4、应用

(1) A\cdot(B\times C)=B\cdot(C\times A)=C\cdot(A\times B)
证明： {\color{red}{ A\cdot(B\times C)=A_{i}\epsilon_{ijk}B_{j}C_{k}=B_{j}\epsilon_{ijk}C_{k}A_{i}=B_{j}\epsilon_{jki}C_{k}A_{i}=B\cdot(C\times A) } }
(2) A\times(B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C
证明： {\color{red}{ \epsilon_{ijk}A_{j}(B\times C)_{k}=\epsilon_{ijk}A_{j}\epsilon_{klm}B_{l}C_{m}=\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}A_{j}B_{l}C_{m} \\=  (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_{j}B_{l}C_{m}=\delta_{il}\delta_{jm}A_{j}B_{l}C_{m}-\delta_{im}\delta_{jl}A_{j}B_{l}C_{m}\\=A_{j}B_{i}C_{j}-A_{j}B_{j}C_{i}=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C } }

缘来在这里

最好写点自己的感受，直接写公式，太吓人了