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·排列
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(permutation). 这是课本上的定义.主要是与组合区分开：组合是无序的，排列是有序的.
排列数公式A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1).
A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}.
我的理解是，从n开始依次乘下去，每次减1，乘m个.
·组合
一般地，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination). 组合数公式 C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}
感觉记着一个就够了.
·题目
我以限制条件分类.
无限制
这种只要区分排列/组合/其他就行了.
例1:北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线，需要准备的不同的飞机票的种数为____.
因飞机票计顺序，故用排列A_{3}^{2}=3\times2=6 . 例2:将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，不同的分配方案有多少种？
转化为一个宿舍学生的问题.甲宿舍中学生数为2～7；而宿舍中人员无所谓顺序，由分类加法计数原理，有 C_{7}^{2}+ C_{7}^{3}+ C_{7}^{4}+ C_{7}^{5}=C_{8}^{3}+ C_{8}^{5}=2C_{8}^{3}=112. 尤其体现在送书问题上：
例3:（1）6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？
尽管是不同元素，但没有”取出“的意思，既非排列亦非组合，由分步乘法计数原理，有 5^6 种. （2）5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？
不同的书且每人至多1本，为排列问题，有 A_{6}^{5}=6\times5\times4\times3\times2=720 种. （3）5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？
既然相同的书，便无所谓顺序，为组合问题，有 C_{6}^{5}=C_6^1=6 种. 有限制
有限制就很麻烦，且分多种情况，只能在做题中积累了.基本方法有特殊位置、特殊元素优先处理，间接法，捆绑法，插空法，缩倍法，隔板法.
① 相邻
一般用捆绑法和插空法来处理.
所谓捆绑法，就是将相邻元素捆为一个，作一个元素处理.此时应注意其内部排列.
所谓插空法，就是用不相邻元素插其他元素的空.此时应注意其他元素排列.
例4:有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是____.
黄菊花必须相邻，用捆绑处理，将2盆黄菊花捆为一个元素.因5盆菊花各不相同，应考虑其内部排列 A_{2}^{2} ;白菊花不相邻,用插空处理.现将其他元素（2盆黄菊花、红菊花）全排列 A_{2}^{2} ，有3个空；用白菊花插空，顾及顺序，有 A_{3}^{2} .由分步乘法计数原理, 有A_{2}^{2}\cdot A_{2}^{2}\cdot A_{3}^{2}=2\times2\times3\times2=24 种. 例5:6把椅子排成一排，3人随机就坐，则：
（1）任何两人都不相邻的坐法种数有____.
不相邻,用插空法.但此处椅子无所谓顺序，只需插空 A_4^3=24 种. （2）恰有两个空座位相邻的坐法总数有____.
“相邻”则想到捆绑.3个空位是完全相同的，故两个空座位无所谓哪两个；3人有区分，顺序排列 A_3^3 ；将2个不同元素（两个空位、一个空位）插入形成的4个空，有 A_4^2 ；由分步乘法计数原理，有 A_3^3\cdot A_4^2=72 种. ②定序
一般用缩倍法来处理.
有m个不同元素排成一列，其中n个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m个元素全排列，有 A_{m}^{m} 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他m-n个元素的位置不动，把这n个元素交换顺序，有 A_n^n 种排法，其中只有一个排列符合题意，因此共有 \frac{A_m^m}{A_n^n} 种满足条件的不同排法.若n个元素定序有多种，应在后面乘上.
例6:将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有几种?
A,B均在C的同侧,则有ABC,CBA,BAC,CAB四种排法.由缩倍法，有 \frac{A_6^6}{A_3^3}\times4=\frac{6！}{3！}\times4=6\times5\times4\times4=480 种. ③ 分配
此类特点是要求每处至少分得数目，并进行分配.
一般用隔板法处理.
例7:将组成篮球队的10个名额分到7所学校,每所学校至少有一个名额,名额分配有多少种？
名额无所谓顺序，只需将学校排成一排，用6个板插入10个名额中的9个空，将其分成7份.有 C_9^6 种. 例8:把20个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子里，要求每个盒子里球的数目不小于盒子的编号数，则一共有______种不同的放法.
先将编号为1，2，3，4的四个盒子分别放入0，1，2，3个球，再把剩下的14个球用隔板法分成四组，有13个空，用3个隔板，故 C_{13}^3 . ④至少/至多/不都是
间接法OR分类处理.
如果反面分类少，就用间接法. C_n^m=C_n^{m-n} 即如此.
例9:如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性的种数为____.
例9
电路不通，即”不都是“焊上的，反面分类少，故间接法 2^6-1=63 种.
若直接法，分类有1）1个没有焊上 C_6^1 ;
2）2个没有焊上 C_6^2 ;
3）3个没有焊上 C_6^3 ;
4）一个没有焊上 C_6^4 ;
5）5个没有焊上 C_6^5 ;
由分类加法计数原理， C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5=63 种. 例10:某次运动会，要从4名男志愿者和3名女志愿者中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女志愿者，则不同的选派方案的种数有____.
"至少"，且反面种数少，可用间接法，用总数 A_7^3 减去无女志愿者 A_4^3 ,得 A_7^3-A_4^3=186 种. ⑤指定
分开处理就好.
例11:甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有____种．
先确定相同的一门 C_6^1 ,再从剩下5门选出甲的 C_5^2 ,再从剩下3门选出乙的 C_3^2 .由分步乘法计数原理，有 C_6^1\cdot C_5^2\cdot C_3^2=180 种. ·闲话
复杂的题多是许多条件的综合，或者是繁杂的分类.实在想不出，也可以列举找思路.尤其要保证自己的式子不重不漏.因为只是预习，并没有做太多题，若见到其他题型，会补充的。 |
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发表于 2022-9-20 17:16:49