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掷骰子是一件很简单的事情，一共六个面，每个骰子投出来只有6种可能，分别是1，2，3，4，5，6。今天不妨让我们来看一些掷骰子的问题，其中我们需要用到一些排列组合的基本思维。（题目来源和解题思路均为原创，没有摘取任何网上内容）
首先，为了让我们解题过程中不要由于重复计算相同情况而导致错误，让我们先明确一下：假如现在有5个骰子，掷完一次后假如结果是12345，另一次结果是54321，亦或者是31245，都属于一种情况；11122,12211也都是一种情况。
先向大家介绍一下排列组合的基本公式：
主要是A（arrangement排列）和C（combination组合）的计算：
排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。（这里我在题目中一般用nAm表示，代表从n个元素中选择m个元素出来排列）
组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。（我用nCm表示，代表从n个元素中抽取m个元素中出来组合）
有同学问过我排列和组合的具体区别，我在这里可以简单地做个解释：排列会考虑顺序，12221和21122在排列里会被当作两种情况计算，因为它们结果虽然一样，但是出现的顺序不同；而组合只看结果，12221和21122在组合中就是一种情况，因为结果一样，都是三个2和两个1。
组合（C）的计算：
左边的数字（5）乘以右边的数字（3）的个数，且每个数字都要依次-1。再除以右边的数字的阶乘。
如：5C3=（5X4X3）/3X2X1
3X2X1（也就是3的阶乘）
排列（A）的计算：
跟C的第一步一样。就是不用除以右边的数字的阶乘。
如：4A2 = 4X3
公式都介绍完了，接下来让我们来看一道简单的例题：
将三个骰子分别投一次（也相当于将一个色子投三次），最后投出来的结果一共有几种情况？
在做这道题的时候，有一些同学会犯的一个通俗的错误就是认为每一次都有6种情况，总情况数就是6乘6乘6，答案算出来216种，那这明显是错误的，因为他将一种情况考虑了很多次：112，121，211被当成了3种情况而没有当成1种情况计算，最后导致算出来的答案比正确的答案大了很多。
那这道题的正确解法是什么呢？首先我们要明确这道题要用组合计算而不是用排列，接下来会有很多种解题的方法，我这里想向各位介绍其中一种我最常用的方法：
按照出现了几个不同的点数分类计算
1.三次投出来的点数都一样:111,222,333,444,555,666；一共六种。如果用公式写出来就是6C1，一共6种。
2.三次投出来的点数有两个点数是不相同的：比如112,233,255,611等等，这时候我们发现因为有两个点数不同，所以6个数字中一共是两个数字，我们知道要用公式6C2计算。但是这时候我们要考虑到，虽然我们知道六个数字中一共出现两个数字，比如3和4，但可能是3出现两次，也可能是4出现了两次（334,443），所以要用6C2*2计算，答案是30种。
3.三次投出来的点数三个点数各不相同：比如123,243,352,461等等，这时候我们发现6个数字中出现了3个数字，要用6C3计算，这时候就不需要像情况2中再乘2了，因为每个数字都刚好只出现了一次，直接用6C3计算即可，答案是20种。
最后答案即是将三种情况的情况数相加:6+30+20=56种。
再让我们来看一下如果是4个骰子的情况：
1）点数全相同 6种
2）两个不同点数 45种
6C2乘3
乘3的原因：会出现这样三种情况
abbb aabb aaab
3）三个不同点数 60种
6C3乘3
乘3的原因：会出现这样3种情况
abbc abcc aabc
4)4个全不同 15种
6C4即可
全部相加共126种
最后看一下5个骰子的情况：
1）全相同 6种
2）2个不同点数 6C2乘4=60种
乘4的原因：
abbbb aabbb aaabb aaaab
3）3个不同点数 6C3乘6=120种
乘6的原因：
abccc abbcc abbbc aabcc aabbc aaabc
4）4个不同点数 6C4 乘4=60种
乘4的原因：
abcdd abbcd abccd aabcd
5）全都不同 6C5=6C1=6种
全部相加共252种
看完了以上的介绍，各位掌握了这一类掷骰子题目的算法了吗？掷骰子题目在排列组合中会有各种各样的形式出现，我们今天分析的只是所有题型中最基础的，但是我们已经运用了组合最基本的思想。其实做这一类的题目时本质都是在用公式计算前先分析好题意，公式是死的，但是却可以根据题目的千变万化也灵活地运用，同时排除掉在题目中可能会重复计算的情况，最后再正确代入公式就不会出错了。
HFLS Mathematics Club
Morgan
2021.6.15 |
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发表于 2023-3-1 10:50:08