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公式内容
- 加法原理：设集合S被划分成两两不相交的部分 S_{1},S_{2},...,S_{m} 。则 S 的对象数目可以通过确定它的每一个部分的对象数目并如此相加而得到: |S| = |S_{1}|+|S_{2}|+...+|S_{m}|
- 集合的排列：对于正整数 n 和 r ， r \leq n ，有 P(n,r)=n\times(n-1)\times...(n-r+1) ，对于非负整数 n ，我们定义 n！ (读作n的阶乘）如下： n！=n\times(n-1)\times...\times2\times1 ,并约定 0!=1 。于是可以写成 P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}
- n 元素集合的循环 r 排列的数目是 \frac{P(n,r)}{r}=\frac{n!}{r\times(n-r)!} ,特别地， n 个元素的循环排列的数目是 (n-1)!
- 多重集合排列： S 是多重结合，它有 k 种不同类型的对象，且每一种类型的有限重复数分别为 n_{1},n_{2},...,n_{k} 。设 S 的大小为 n=n_{1}+n_{2}+...+n_{k} 。则 S 的排列数目等于 \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{k}!}
- 多重集合排列2: 设 n 是正整数,并设 n_{1},n_{2},...,n_{k} 是正整数且 n=n_{1}+n_{2}+...n_{k} 。并把 n 对象集合划分成 k 个标有标签的盒子，且第1个盒子含有 n_{1} 个对象，第2个盒子含有 n_{2} 个对象， ... ,第k个盒子含有 n_{k} 个对象，这样的划分方法等于 \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!...n_{k}!} ,如果这些盒子没有标签，且 n_{1}=n_2=...=n_k ,那么划分数等于 \frac{n!}{k!n_1!n_2!...n_k!}
- 多重排列的组合：设 S 是有k种类型的对象是 a_1,a_2,...,a_k ,每种元素均具有无限的重复数。即 S=\{\infty\cdot a_1,\infty\cdot a_2,...,\infty\cdot a_k\} 。那么 S 的 r 组合的个数等于 (r+k-1,r)=(r+k-1,k-1)
- 多重排列组合的应用： x_1+x_2+x_3+x_4=20 的整数解的个数是多少?其中 x_1\geq3,x_2\geq1,x_3\geq0,x_4\geq5 ，我们引入新的变量 y_1=x_1-3,y_2=x_2-1,y_3=x_3,y_4=x_4-5，此时方程变为 y_1+y_2+y_3+y_4=11 。等于 (11+4-1,11)=(14,11)=364
- 注： (n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}
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发表于 2022-9-21 15:04:31