排列与组合

永沐春光

计算排位数目

假设有一场赛马比赛，场上有3匹马，要求出3匹马的排名，问有多少种排名方式？



先先看第一名，3匹马中任意一匹都有可能，因此占据第一的可能有3种。



当有一匹马获得第一名后，要确定第二名，此时有2种可能。



当第二名确定以后，此时只剩1匹马，第三名只有1种可能。

因此一共有6种排名方式。
如果有n匹马呢？
3匹马的排名方式为3x2x1。那么n匹马的排名方式可以按如下计算


这种计算方式称为一个数的阶乘，数学表达式是感叹号。
例如3的阶乘写作3！，n的阶乘写作n!
注：

• n为0时,0的阶乘为1,因为0个对象只有1种排列方式
  
• 阶乘计算结果只有n为0或1时才为奇数
  
• 阶乘仅针对正整数，负数和非整数没有阶乘
  

圆形排位



圆形排位有例外，因为计算圆形排位时，要把一个位置固定下来，因此，如果有n个对象要进行圆形排位，其可能结果为


注：

• 如果把顺时针和逆时针排位视为同一种情况，则为(n-2)! / 2
  
• 如果将对象呈圆形排位，且考虑对象的绝对位置，n!
  

例题：
（1）小明想给爸爸打电话，但是他记性较差，他只知道电话号码由1、2、3、4、5、6、7组成，但忘记了顺序，此时他随机拨号对的概率有多大？
此时要计算7个数字的所有排列可能有多少种，即7的阶乘
P = 1 / 7! = 1/5040 =0.0002
（2）此时有人提醒小明 ，电话号码前3位是1、2、3的某种排列，后4位是4、5、6、7的某种排列，这时他拨对号码的概率有多大？
此时将数字拆为2组，一组为（1，2，3），另一组为（4，5，6，7）
3！x 4! =6 x 24 = 144
P = 1/144 = 0.0069
按类型排位

假如一场比赛中，由3匹普通马和3匹斑马参赛，此时普通马和斑马有几种排名方式（哪种马排在哪个位置）


这个问题中，我们并不想清点3匹普通马和3匹斑马的所有排名方式。到底哪一匹马跑了第一无关紧要，知道跑第一的是斑马还是普通马就够了。
已知6匹马会有6！排名方式，先来看斑马的情况，3匹马斑马有3！排名方式，6！中包含这3！排名情况，但是由于我们并不关心哪一匹斑马排在哪个位置，因此这些排名都是一样的，为了避免重复计算，则用6！除以3！就行了。


同样，普通马的情况也是同样的6！除以3！


所以按照种类进行排名的可能为：
6！/ 3！x 3！ = 720 / 36 =20
因此可以推出公式，如果要为n个对象排位，其中包括第一个对象k个，第二类对象j个，第三类对象m个·······则计算式为：



例题：
马场举办一场有3匹普通马、2匹斑马、5匹骆驼参加的比赛，所有动物夺冠的可能性都一样
（1）那么按照动物种类排名有多少种方式？
10! / 3!x2!x5! =3628800/6x2x120 =2520
（2）5匹骆驼连成一片完成比赛的概率有多大？（5匹骆驼排名连续）
首先，我们把5匹骆驼看做是一个单一对象，确保它们统一行动，也就是把一群绑定的骆驼掺入3匹普通马和2匹斑马中，也就是对6个对象进行排序。
6！/3!x2!x1 = 720/6x2x1 =60
为了求以上情况的发生概率，只需要用骆驼这个对象跑完全程的排列方式数目除以（1）中所有动物种类跑完全程的全部可能方式数目。
P = 60/2520 = 0.024
前三名归属方式有几种

假如有20匹马进行比赛，我们需要求出前三名的可能排名方式有多少种？
按照一开始的举例思路可以比较直接得到结果，第一名的可能有20种，第二名可能19种，第三名可能为18种。所以有20 x 19 x 18 =6840种
如果用阶乘公式表示的话：



排列

排列：n为对象总数，r为选取排位名次

假如马匹排名无关紧要
假如前三名的顺序不考虑，我们只想知道前三名有多少种组合方式，但前三名的确切排名并不细究。
已知3匹马的排名方式有3！种，由于我们并不细究排名顺序，因此我们可以用之前求出的所有排名情况除以3！
6840 / 3！=1140
也就是说，前三名马匹进行排名的方式有6840种，但不考虑排名，考虑前三名的组合，组合方式有1140种。
如果用阶乘公式表示的话：



组合

组合：n为对象总数，r为从n个对象中选取r个对象，不考虑排名顺序。
排列和组合的区别

排列：指从一个群体中选取几个对象，在考虑这几个对象的顺序的情况下，求出这几个对象的选取方式的数目。重点是：与顺序有关
组合：指从一个群体中选取几个对象，在不考虑这几个对象的顺序情况下，求出这几个对象的选取方式的数目。重点：与顺序无关

例题：
1.全明星篮球队将参加一场比赛，在册队员12名，同一时间只允许5名队员上场比赛。
（1）同一时间上次比赛的队员有几种出场方式？
我们需要计算从12名队员中，挑出5名队员的选取方式的数目，不需要对挑选出来的队员排序，所以是求组合
组合 = 12！/ 5! (12-5!)
       = 12! / 5!x7!
       =792
（2）教练指定了3名队员做投篮主力，这3名主力是随机选取的，那么3名主力在同一时间上场的概率有多大。
我们要计算当3名主力上场时，剩余2名队员的组合数目，然后除以总体组合数目，即为所求概率。排除3名主力，要从剩下9名队员中选取2名队员补上剩余2个位置。
2名队员组合=9！/ 2! (9-2)!  
                  =9！/2!x7!
                  =36
P = 36 / 792 =0.045

2.下面计算扑克牌的概率，一副牌有52张，一手牌有5张。
（1）拿一手牌的方式有几种？
求52张牌里挑选5张的组合数目
组合 = 52！/ 5! (52-5)! =52! / 5!x47! =2598960
（2）全部同花的10、J、Q、K、A组成一个同花大顺，拿到这种牌的组合的概率是多少？
花色只有4种，那么同花大顺的组合为4种
P = 4 / 2598960 =0.0000015
（3）四张数字的相同的牌组成一个“炸弹”，再加一张随机手牌，拿到这种扑克牌的组合的概率是多少?
“炸弹”在整副牌中只有13种组合，剩下一张牌为52-4=48种，所以这种扑克牌组合为13x48=624
P = 624 / 2598960 =0.00024
（4）五张花色相同的牌组成一手同花牌，拿到同花牌的概率是多少？
每种花色有13种牌，从中选择5张牌，求其组合数，因为有4种花色，再乘以4
同花组合 = 4 x 13! / 5!(13-5)! = 5148
P = 5148 / 2598960 = 0.00198

本文归纳总结参考《深入浅出统计学》

姜永辉

认真看完了 讲的很好 当理解了排列和组合的区别是排列对象是需要排序的 组合的对象不需要就突然清楚了 当初没好好学忘记了 来加深记忆了 如果能加上C 和 A 的组合和排列的写法就更好了
[欢呼]