排列组合与概率

上善伐谋先伐心

一，排列组合

分类加法：直接一步到位。 1+1+1+1+1=5


分步乘法：分多步才能做完。 3\times2=6


排列：10个抽3个并排序。（公式含义：抽一个排一个）
A_{10}^{3}=10\times9\times8=C_{10}^{3}A_{3}^{3}
特殊的，全排列 A_{3}^{3}=3!=3\times2\times1 （含义：对已有的3个进行排序的种数）
组合：10个抽3个。（公式含义：抽一个排一个，抽完后，除以3个的全排列）
C_{10}^{3}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=\frac{A_{10}^{3}}{A_{3}^{3}}=C_{10}^{7}
特殊的， C_{n}^{n}=1 （含义：不用考虑顺序全拿走）

• 问：有1,2,3,4,5这样五个数，需要选3个数，并且这三个数逐渐变大。有几种排法？
  
• 答：抽出的3个数不同，且一旦抽出来，顺序唯一，即C_{5}^{3}
  
• 问：罐中有12颗围棋子，8白4黑，从中任取3颗，至少有一颗黑子的情况有几种？
  
• 答：从反面看简单，即总数减一颗黑子都没有的情况数 C_{12}^{3}-C_{8}^{3}
  

枚举法

数据不大直接枚举
捆绑法（相邻）

• 先捆：把必须相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。
  
• 再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续操作。
  

插空法（不相邻）

• 先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。
  
• 再插：将不相邻的元素插入到空位中。
  

问：男女各5名，总共选4人各自表演节目，4人中必须有男有女，不能由男生连续表演节目，节目安排共有多少种？
答：先选再排，枚举出两种，加在一起即可。女2，男2： C_{5}^{2}C_{5}^{2}A_{2}^{2}A_{3}^{2} ，女3，男1： C_{5}^{3}C_{5}^{1}A_{3}^{3}A_{4}^{1}
环形排列




不考虑方位时，4种情况实际为1种


<hr/>二，概率



问：5排共30个格子，每排格子数相同，1红1绿两个棋子随机放入任意两个格子，两个棋子在同一排的概率为？
答：方法一：根据情况数相除算 \frac{C_{5}^{1}A_{2}^{6}}{A_{30}^{2}} 。方法二：分步概率相乘；两人凑一起，第一个人先挑发生概率100%，第二个人再去找他。直接 \frac{5}{29}
问：100名新生随机围坐在篝火四周，其中小张和小李是同桌，他俩坐一起的概率是？
答：方法一： \frac{捆绑法后99人环排}{100人环排}=\frac{A_{2}^{2}A_{98}^{98}}{A_{99}^{99}}=\frac{2}{99} 。方法二：一个人已经坐好的概率100%，另一个人坐到他旁边 \frac{2}{99}



三局两胜类公平比赛，基础胜率>50%，局数越多优势越大（胜率越高，即大于基础胜率）；基础胜率<50%，局数越多优势越小（胜率越小，即小于基础胜率）

承諾只為實現

不错不错，看懂了。

祝陪柳

写的很通俗易懂