浅谈一下光学合成孔径技术的原理（二）

劉鵬飛

在上一期中，我们从傅里叶光学的角度说明了光学合成孔径系统实现更高空间分辨率的原理。
在继续进行介绍之前，我们先简单回顾一下光学系统的调制传递函数（MTF），MTF是可以较完整描述光学系统性能的指标之一，我们用一张图来简单说明MTF对成像质量的表征：


横坐标是景物的空间频率，空间频率越高，表示目标越精细；截止频率可理解为光学系统能够看到的最精细的程度（严格意义上来说应该要比截止频率低一些）；纵坐标是光学系统的MTF值，MTF值越大，表示对应空间频率下的目标成像越清晰。可以说，光学系统的成像质量是由空间频率和清晰度两方面反映的。
综上所述，我们在第一期其实埋了个伏笔：只论证了光学合成孔径对空间频率的影响，没有介绍光学合成孔径对清晰度的影响。
下图给出了两种光学合成孔径结构，各子孔径之间是存在明显间隙的，这些间隙可以看做是在一个大的等效口径前加了若干遮拦，这些遮拦会使光学系统的MTF值损失，尤其是中、高空间频率对应的MTF。结合上一期的内容，总结为一句话：光学合成孔径结构可以使光学系统看到更加精细的景物，但是各子孔径的间隙会严重影响这些精细景物的成像清晰度。



左：詹姆斯韦伯望远镜主镜；右：洛克希德·马丁公司MIDAS系统

那么如何解决光学合成孔径的清晰度问题呢？这就引出了光学合成孔径系统中最关键的三项技术：光瞳排列、位相同步、图像恢复。
一、光瞳排列

1、冗余排列与非冗余排列

由傅里叶光学理论可知，光学系统的相干传递函数（CTF）与其光瞳函数形式相同（仅自变量从空间域换到频域），而光学系统的光学传递函数（OTF）是其CTF的自相关，故OTF也可看做系统光瞳函数的自相关形式。
上面这段话有些晦涩，用图片来直观说明：图形表示两个相同的光瞳面，自相关的物理意义是：将光瞳由原点O移动到(-x,-y)点后，两错开光瞳面的重叠面积（阴影部分）。当两光瞳在x或（和）y方向上不再重叠时，对应方向上的自相关函数为0，对应的CTF与OTF降为0。


进一步地，设各光瞳（子孔径）的口径为d，组成的光学合成孔径系统口径为D，当各子孔径有间距排列时，各子孔径在x或y方向上均无重叠（相关函数为0），于是光学系统的OTF在子孔径范围外其实存在零点，此时光学系统实际可用的空间频率仅为小于截止频率的部分。这种情形被称为冗余排列，即在x或y方向上相同位置（对应相同的频谱分量），存在多于一个子孔径进行采样，而光瞳间隔处无子孔径进行采样（下图）。


因此，为了充分发挥光学合成孔径系统的优势，必须设法使上图中的各频谱分量存在交叠，即采用非冗余排列方式，将系统实际截止频率提高到等效截止频率附近，如下图所示。


2、填充比与曝光时间

光学合成孔径系统的填充比是指有效集光面积与等效单口径系统集光面积之比，若系统有n个直径为d的圆形子孔径组成，等效单口径系统为各子孔径的包围圆，直径为D，则系统的填充比为：
F=\frac{nd^{2}}{D^{2}}
在D一定的情况下，填充比F越小，系统重量越轻，但是有效集光面积也越小，这会引起系统MTF和信噪比的下降。当填充比F较低时，系统曝光时间需要适当增加，一般来说，应增加到单口径系统的F^-2~F^-3倍。
光瞳排列方案可以通过遗传算法、粒子群算法或模拟退火算法等进行搜寻与优化。总的来说，优化光瞳排列的主要目的在于扩展系统的实际截止频率范围，使其接近系统的等效截止频率，这通常需要兼顾子孔径位置（非冗余排列）和子孔径集光面积（填充比设置）两方面，并选取合适的优化算法。就优化结果来说，系统中频分量必然是远低于衍射极限的，因此必须搭配有效的图像恢复手段，这将在后面进行介绍。
二、位相同步

来自不同子孔径的光束必须满足稳定干涉条件（等光程条件）才能达到提高分辨率的目的，否则与单个子孔径成像相比，只能增加通光量，并不能提高分辨率。位相同步技术就是保证来自不同子孔径的光束满足干涉条件（共相），也就是使不同子孔径到像面的光程基本相等，即各通道的相位差（phase error）或平移误差（piston error）小于1/10光波长。
实现位相同步的方法可以大致分为焦面探测法、中间面探测法、瞳面探测法和远场分析法四大类，这里受限于篇幅就不一一详细介绍了。
总的来说，焦面探测法和中间面探测法所需光学元件较少，只需获得若干个不同离焦量的离焦图像，通过点扩散函数、离焦量等和平移误差的关系计算获得对应的平移误差大小，但需要消耗大量计算资源，测量速度受限于图像分辨率和数量，探测范围受限于离焦量，因此探测速率不易提高、量程较小；瞳面探测法依靠相应光学机构，对因平移误差引起的光学现象进行测量，光学结构复杂精密，不过使用的计算资源较少；远场分析法主要通过算法得到平移误差，光学元件较少，但是耗费计算资源较多。
瞳面探测法由于具有较高精度，且可以达到较大的量程和较高的探测速率，是目前主要使用的共相检测手段。焦面探测法在对探测速率和范围要求较低的场合也有所应用。
三、图像恢复

从前面的分析可以看到，光学合成孔径系统图像存在清晰度的损失。因此，需要结合图像恢复方法进行后端图像处理。近年来，学界和工业界提出各种针对光学合成孔径系统的图像复原算法，如极大似然法和维纳滤波、最小二乘滤波和极大似然盲去卷积、拉普拉斯正则化反卷积后的小波去噪（WDALRD）算法、U-Net卷积网络、超分辨生成对抗网络（SRGAN）等。这里主要简单介绍下最基础的三种方法：维纳滤波、最小二乘法和盲信号处理。
1、维纳滤波

首先建立一个成像系统引入像质损失和噪声的模型（我们称为模型1），如下图。


其中f和g分别代表物体和图像的光强分布（原始图像和退化图像），h为相机的传递函数（以卷积的方式引入像质损失，频域表现为乘性噪声），n为探测器及电路等分系统引入的加性噪声。
维纳滤波方法是一种经典的线性滤波方法，由于相机的传递函数h和电子学噪声n可以测定，因此可用这两项先验知识获得目标图像和噪声的特征参量，计算其功率谱，结合模型1先后进行去噪和反卷积运算，得到恢复的图像。
2、最小二乘法

最小二乘法又称正则滤波，也是一种线型滤波方法，也使用模型1进行去噪和反卷积运算。与维纳滤波方法相比，该方法不需要知道目标图像和噪声的功率谱，只需要从退化图像估计出噪声的均值和方差，然后通过迭代得到恢复图像。
在对目标图像和噪声有足够先验知识的情况下，维纳滤波的结果更佳。若噪声功率谱未知，在实际使用中，最小二乘滤波更为简单，估计出噪声均值和方差即可。其结果与维纳滤波相比也是较好的。
3、盲信号处理

模型1的建立实际上忽略了远距离遥感系统中大气扰动的影响，这里我们建立模型2，如下图。


其中，f1、f2和g分别为原始图像、相机入瞳处的图像和最终退化图像，h1和n1分别是大气传输引入的乘性和加性噪声，h2和n2是相机引入的乘性和加性噪声。
盲信号处理指的是在不知道原始图像和系统传递函数的情况下，根据输入信号的统计特性，仅由退化图像恢复出原始图像各个独立成分的过程。通常的盲信号处理可分为盲辨识、盲反卷积和盲信号分离。
由于大气传输扰动的影响，实际成像过程更接近模型2，使用盲信号处理是更为恰当的手段。
四、总结

我们用一张图来简单直观地理解光学合成孔径系统中三项关键技术。


图中给出了一个简易的光学合成孔径系统。我们可以把这个系统看成是具有等效口径的大型单孔径系统，子孔径之间的间隙看做是挡在等效口径前的遮拦。光瞳排列就是要优化这些遮拦的位置，不能把中频景物的清晰度降为0；位相同步技术就是保证这个大型系统各光束的光程基本相等，能够在像面处稳定聚焦；图像处理技术就是在成像端对这个大型系统的图像清晰度进行恢复和提升。
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大米换稻谷

话说接收时可以靠合成孔径获得更高分辨率。那发射的时候呢？能获得比单一孔径更细的激光束吗？

任术明

[赞同]

我儿叫我们不一样

我个人理解，合成孔径通过分布式孔径，实现了等效的大光瞳来实现高分辨；如果反过来看的话，对应的应该是合成发射天线（等效更大的光瞳），实现更小的聚焦光斑，而不是更细的激光束吧

雅兰居士

计算光学才是未来[惊喜]

露露儿童

更小的聚焦光斑，不就等于更细的激光束腰吗？

胸毛在燃烧

[滑稽][滑稽]