对于排列组合的推导

凡事明天说

排列组合，顾名思义，两个需要拆开来理解。
举一个例子。
现在有a、b、c、d四个英文字母
我们要任意取两个字母进行排列，这个“排列是什么呢？”就是我们从adcd这四个英文字母中，任意取的两个数，将“他们两个在一起读”，但是“读”的话就产生了一个问题，比如我从adcd中选择ab两个字母来读，ab就是一种排列方式，但问题是，读完了以后，我发现我选的ab这两个数，是有先后顺序的，我是先读的a，再读的b。
对于排列来说，我先读a，再读b是一种方式，那么我先读b，再读a，也是一种方式，即ba，那么这就是两种排列方式，ab和ba。所以我们发现“排列”是有顺序的。
当然，对于abcd四个字母而言，我不只是可以取a和b这两个数，我可以取任意两个数，比如c和d，那么假如“我将所有可以取的两个数，都拿出来读一下”并且我要把所有的可能性全部都“读”出来，会有多少情况呢？
ab、ac、ad、bc、bd、cd、dc、db、da、cb、ca、ba。
一共12中。
这是我们试出来的，能不能来个公式，不要简单罗列呢？

<hr/>
一共取2个数，太麻烦，反正是推公式，咱们简单点来吧，别取2个了，咱取1个数排列吧！就像是在一个筐里边有四只小鸡，小黑、小红、小绿、小紫一样。
“排列”的意义就是把筐里的鸡给拿出来，看一共有几种拿的方法！
现在要从筐里面抓一只出来，但是就只抓一只，抓小红是一种方法，抓小黑是一种，抓小绿，抓小紫都行，最多有四种抓的选择。
假设抓取小红。
无论这四只鸡谁被我取出来，只要我取了一只，就剩下了三只。
再重申一次，排列是一种方法，是一种选择方式。
拿出来小红之后，再拿一只，此时对于我来说，我可以拿小绿，可以拿小紫，可以拿小黑，这是几种呢？，三种！
假设第二次抓取了小绿。
第一次抓的是小红，第二次抓的是小绿，这是一种排列方式，那么一共可能产生几种方式呢？
我第一次拿鸡的时候，有四种选择方法，那么这四种选择方法也就代表了四只鸡，在其中一定存在某一只鸡会和接下来的三只鸡产生排列的可能性，也就是三种排列的方式，既然如此，假如每一只鸡都和其他三只鸡产生可能性，就是3+3+3+3，也就是4×3=12
p_{2}^{4}=4（4-1）=12
我又推想到，如果想抓第三只鸡，那么就要考虑第二只鸡拿出去后，还要拿谁，这个“拿谁”，就是对剩下两只鸡的挑选，还有两种可能性，如此的话，拿一只鸡有四种选择，拿完剩下三只，拿第二只有三种选择，拿完剩下两只，拿第四只时就剩下一种可能性了，如此这般，就总结出一个公式。
这个公式是
p_{r}^{n}=n（n-1）（n-2）...（n-r+1）
n就是鸡的个数，r就是我想抓取几只鸡，我要排列的鸡的个数。
这是组合。
刚才排列时让它们配对，是一种“有放回”的拿鸡计算方式，即，其运算为“第一次的四种拿鸡方式”乘以“第二次的三种拿鸡方式”，这是一种记录。
实际上，我是假设拿一只鸡和其他三只鸡产生了配对，配对完又放回去，拿其它的鸡再配对，比如我拿小红出来时，我把它和小黑配对一次，那么在把小黑拿出来时，和小红又配对了一次。
那么我不想要这种重复的“组合”，应该怎么做呢？
很简单，对于刚刚的排列来说，直接除以2就可以了，因为，我只排列两只鸡，那么每次排列，都会多出来一个相同的“组合”，即，我把两只鸡也排了顺序了。比如小红、小绿那么就多一个小绿、小红，刚才排列的所有的任意两只鸡，我都排了顺序，整体上，就多出来两倍！把这两倍除去就好了。
刚才多出来的这两倍，其本质是“一个排列中相同组合重复的倍数”，比如2倍是从4只鸡中排列2只鸡“两只鸡中取两只鸡组合”的重复倍，三只鸡呢？从“四只鸡中取三只鸡的排列”是“三只鸡中取三只鸡的排列”的“四只鸡取三只鸡的组合”倍，这三只鸡怎么排列都是他们三只鸡，而这三只鸡对于我想要的“三只鸡的组合”来说，只取一个组合就够了，其它的全部都是重复！
此处还可以延伸一下，既然“三只鸡中取三只鸡的排列”按照组合的角度来，他们实际上都是重复的，那么“三只鸡中取三只鸡的组合”也就等于1。
p_{r}^{r}=r！ ，
这是从r只鸡中取r只鸡的排列，跟刚才是一样的。
我们用从“n只鸡中取r只鸡的排列”除以“从r只鸡中取r只鸡的排列”就等于“从n只鸡中取r只鸡的组合”。
C_{r}^{n}=\frac{p_{r}^{n}}{r！}
这也就是“组合”的公式了。
而刚才那么绕口的【“四只鸡中取三只鸡的排列”是从“三只鸡中取三只鸡的排列”的“四只鸡取三只鸡的组合”倍】这句话，就是把上面公式给换一下位置。
C_{r}^{n}·r！=p_{r}^{n}
但是实际上我们已经在“绕口”的时候就推出来了，这个变换并不是通过简单移动等号两边的位置得来的！
<hr/>最后我们得出来这么一个结论：本质上，“组合”从某种角度而言是“排列”的特例，是排列未重复的那一部分。